Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ так, что $\mu (X)<\infty$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует множество $X_{\varepsilon }\subset X$ такое, что $\mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon$, и последовательность $\{f_{n}\}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\varepsilon }$.

В формальной записи:

$f_{n}\xrightarrow {\quad \ } ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}f$ на $X\Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists X_{\varepsilon }\subset X:\mu X_{\varepsilon }<\varepsilon \ \wedge \ f_{n}\rightrightarrows f$ на $X\setminus X_{\varepsilon }.$

Доказательство

Рассмотрим множество $\textstyle {R_{n}\!\left({\frac {1}{k}}\right)}$ всех $x$ из $X$, для которых хотя бы один член последовательности имеет номер, не меньший $n$, но в точке $x$ его разность с $f(x)$ по модулю больше $\textstyle {{\frac {1}{k}}.}$ Из свойства сходимости почти всюду следует, что предел при возрастающем $n$ меры этого множества равен нулю для любого натурального $k.$

Значит, по определению предела найдутся такие номера $N_{k}$, что мера $\textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}$ меньше $\textstyle {\frac {1}{2^{k}}}.$ Выберем натуральное число $\epsilon$ так, что для него $\textstyle {2^{\epsilon }>{\frac {2}{\varepsilon }}}.$ Теперь возьмём $X_{\varepsilon }$ равным объединению множеств $\textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}$ по всем $k$, не меньшим $\epsilon .$ Тогда мера $X_{\varepsilon }$ в силу счётной аддитивности равна сумме мер множеств $\textstyle {R_{N_{k}}\!\!\left({\frac {1}{k}}\right)}$, так что верна оценка:

$\mu X_{\varepsilon }=\mu \left\{\bigcup _{k=\epsilon }^{\infty }R_{N_{k}}\!\left({\frac {1}{k}}\right)\right\}=\sum _{k=\epsilon }^{\infty }R_{N_{k}}\!\left({\frac {1}{k}}\right)<\sum _{k=\epsilon }^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}={\frac {1}{2^{\epsilon -1}}}<\varepsilon .$

В то же время дополнение $X\setminus X_{\varepsilon }$ является множеством всех $x$ из $X$, которые не попали в $X_{\varepsilon }$, то есть таких $x$, что для любого натурального $k$, не меньшего $\epsilon$, и члена последовательности с любым номером, не меньшим $N_{k}$, разность этого члена в точке $x$ с $f(x)$ по модулю не больше $\textstyle {{\frac {1}{k}}.}$ Значит, для любого положительного $\delta$ найдётся номер $N_{k}$, где натуральное $k$ одновременно больше как $\epsilon$, так и $\textstyle {\frac {1}{\delta }}$, что во всех точках множества $X\setminus X_{\varepsilon }$ все следующие члены ряда по модулю отличаются от $f$ не больше, чем не $\textstyle {\frac {1}{k}}$, а в силу выбора $k$ меньше, чем на $\delta .$ Следовательно, $f_{n}$ равномерно сходится к $f$ на множестве $X\setminus X_{\varepsilon }$ по определению.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu (X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелева σ-алгебра на $\mathbb {R}$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb {R} )=\infty$. Пусть $f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$, где $\mathbf {1} _{A}$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{f_{n}\}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.
• Теорема Лузина

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, (1911) 152:135-157.
• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.